为什么等比数列被称为几何级数,等差数列为算术级数?

瞳人


发布于 Oct. 21, 2016, 8:15 p.m.

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Math 有的没的


今天突然想知道,为什么我们叫等比数列叫做几何级数 (geometric series),等差数列叫做算术级数 (arithmetic series)。 于是谷歌了一番,觉得当中几个比较有趣的说法,所以记录一下。下两张图来自于 stackexchange 上的问题 Why is a geometric progression called so? 的答案觉得很美,所以贴在这里。

第一张图为一个几何图形,代表了数列的比为 \( r > 1 \) 的等比数列的情况。

几何级数 r > 1

第二张图阐述了数列的比为 \( x < 1 \) 的情况。其中三角形PNA为等腰直角三角形。

几何级数 x < 1

第二张图我觉得更好,因为在该图中,我们可以很明显的得到几何级数的和 \( s = 1+x+x^2+ \cdots = ON = PN + 1 \),然后由于 \( tan(\angle PON) = x\)。我们可以知道 \( ( s - 1 ) / s = x \),可以得 \( s = 1 / ( 1 - x ) \)。 详情可见 stackexchange 原帖。

然后,我在 Quora 上的问题 Why is 'geometric' progression called so?,发现有人提到了,几何平均数 (geometric mean),等比数列 \( a_0, a_1, \ldots \) 中的某一项 \( a_i, i > 0, a_i = sqrt( a_{i-1} \times a_{i+1}) \),即为前后两项的几何平均数。这样一看,我就理解了几何级数的中几何的含义。

同理,虽然没有搜索,我联想到等差数列叫做算术级数的原因,是因为中间项为前后两项的算术平均数。


哎呦, 不错哦!

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